План-конспект факультативного занятия в 5 классе по теме "Простые и составные числа"

Цель урока: расширить представление о простых и составных числах, применять полученные знания при решении сложных, не стандартных и олимпиадных задач. Доказывать свойства.

Учебник: "Математика. Арифметика. Геометрия 5 класс" Е.А. Бунимович. 2019 г.

Ход урока

Теорема

Если число a составное, то его наименьший простой делитель p удовлетворяет неравенству p² ≤ a. Поскольку число p является делителем числа a, то число a можно представить в виде a = pb для некоторого натурального b. Если b = 1, то a = p - простое число вопреки условию.

Значит b > 1 и согласно теореме 12 число b имеет наименьший простой делитель q, тогда q≤b по теореме 11. Так как a⋮b и b⋮q, то a⋮q согласно теореме 10.1. Поскольку p - наименьший простой делитель числа k, а q - простой делитель числа k, то p ≤ q и значит p ≤ b. Умножая последнее неравенство на p, получим pp ≤ pb = a, т.е. p² ≤ a.

Задача 1.
Число разложили на простые множители и получили такое произведение: 23*34*52.

а) чему равно данное число?
б) делится ли это число на 10? На 100? На 1000?
в) делится ли это число на 18? На 70?
г) убедитесь на этом примере в правильности данной теоремы.

Задача 2.
Найдите данное число и выпишите все его делители:

а) 2*5*13
б) 22*32
в) 2*52*7
г) 22*3*52.

Задача 3.
Разложение числа на простые множители – это его "паспорт". Из него можно узнать много полезных сведений о данном числе, например найти все его делители. Найдите все делители числа а, если:

а) а = 2*5*13
б) а = 32*11*17
в) а = 32*5*72

Задача 4.
Представьте число 30 в виде суммы простых чисел всеми возможными способами. (суммы, отличающиеся только порядком слагаемых, считайте одинаковыми).

Задача 5.
Представьте все четные числа от 12 до 20 в виде разности двух простых чисел.

Числа близнецы

Задача 6.

Простые числа, разность которых равна 2, называют числами близнецами. Сколько пар чисел близнецов в ряду чисел:

а) от 200 до 300
б) от 400 до 500
в) проверьте, есть ли числа близнецы от 900 до 1000?

Задача 7.
Числа тройняшки. Найдите все возможные варианты трех простых чисел, такие что второе больше первого на 2, а третье больше первого на 4.

Исследовательские задачи

Задача 8.
Составьте все возможные трехзначные числа из цифр 1, 2, 5 и 7 (без повторения цифр). Какие из них являются простыми, а какие – составными?

Задача 9.
Назовите, все двузначные числа, меньше 30, разложение на простые множители которых содержит только два различных множителя. "Сконструируйте" несколько трехзначных чисел, обладающих таким же свойством. Сколько делителей имеет каждое из них?

Задача 10.
1. Как известно простое число имеет два делителя. А сколько делителей имеет квадрат простого числа? Куб простого числа? Четвертая степень простого числа? Выясните это на конкретных примерах.

2. Как вы думаете, сколько делителей имеет пятая степень простого числа? Шестая степень? Десятая степень?

3. Перечислите все делители числа 3125; 64.
Если 3125 = 55, 64 = 26.

НОД и НОК

Задача 11.
Найдите НОД и НОК чисел:

а) 11 и 13
б) 23*33*5 и 2*32*52.
в) 2*32*5*72, 22*3*52 и 2*32*5*7

Задача 12.
Разложите числа на простые множители и найдите НОД и НОК этих чисел.

а) 1386 и 330
б) 420, 450 и 2209
в) 550, 1155 и 12100.

Совершенные числа

Среди составных чисел выделяют совершенные числа, которые равны сумме всех своих делителей, отличных от самого числа.
Число 6 имеет делители 1, 2 и 3 и их сумма равна 6.
Число 28 имеет делители 1, 2, 4, 7 и 14 и их сумма равна 28.

Число 496 имеет делители 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 и их сумма равна 496.
8128, 33550336, 8 589 869 056, 137 438 691 328, 2 305 843 008 139 952 128…

Совершенные числа изучались еще Евклидом. На февраль 2013 года было известно 48 совершенных чисел. На 2019 год известно 51 совершенное число. Видно что все эти числа четные. До сих пор не известно, существуют ли нечетные совершенные числа.

Олимпиадные задачи

Задача 13.
Ребята пришли с рыбалки с уловом. Все вместе они поймали 121 рыбку, причем количество рыбок у каждого оказалось одинаковым. Сколько ребят ходило на рыбалку?

Задача 14.
Найдите наибольшее число, все цифры которого различны, а их произведение равно 360.

Задача 15.
Даны три последовательных натуральных числа, из которых первое четное. Доказать, что их произведение кратно 24.

Задача 16.
Доказать, что если р – простое число, и р > 3, то число р₂ – 1 делится на 24.

Задача 17.
Доказать, что произведение любых последовательных натуральных чисел делится на 30; на 120.

Задача 18.
Доказать, что разность трехзначных чисел, из которых одно написано теми же цифрами, что и другое, но в обратном порядке, делится на 9 и 11.