Конспект факультативного занятия по математике 5 класс "Сравнение натуральных чисел"

В статье рассматривается фрагмент факультативного занятия по математике для учащихся 5 класса по теме "Сравнение натуральных чисел".

Ключевые слова: правило, сравнение, натуральные числа, ряд, олимпиада.

Ход урока

Вначале вспомним основное правило и докажем теоремы сравнения натуральных чисел, изученные на уроке ранее.
Правило сравнения - натуральное число a больше натурального числа b и пишут a ˃ b , если существует такое натуральное число c, что a = b + c. Далее выясним, как связано правило сравнения и расположение натуральных чисел на числовом луче.

Для любых натуральных чисел a и b справедливы следующие утверждения: если a > b, то на числовом луче число a располагается правее числа b; если на числовом луче число a расположено правее числа b, то a > b.

Изучим следующие теоремы.

Для любых натуральных чисел a, b, c, d справедливы следующие свойства:

если a > b и b > c, то a > c;
если a > b, то a+c > b+c;
если a > b и c > d, то a+c > b+d.

Для любых натуральных чисел a,b справедливо в точности одно из трех: либо a>b, либо b>a, либо a=b (свойство трихотомии); если a+c > b+c, то a>b.

Олимпиадные задачи по теме "Сравнение натуральных чисел"

Рассмотрим решение олимпиадных задач, соответствующие данной теме.

Задача 1.

Найдите наименьшее число, у которого все цифры различны, а сумма всех цифр равна 32.

Решение:
У четырехзначного числа из различных цифр наибольшая возможная сумма цифр равна 9 + 8 + 7 + 6 = 30 < 32, поэтому нужное нам число минимум пятизначное. Постараемся сделать первую цифру как можно меньше, она не меньше 2. Поставим на первое место 2. Сумма оставшихся четырех цифр 30 = 9 + 8 + 7 + 6. Самую маленькую из этих цифр 6 ставим на второе место, следующую по величине цифру 7, затем 8, 9 - на пятое.

Ответ: 26789.

Задача 2.

Лев Алекс решил посчитать полоски на зебре Марти (черные и белые полоски чередуются). Оказалось, что черных полосок на одну больше, чем белых. Также Алекс заметил, что все белые полоски одинаковой ширины, а черные бывают широкие и узкие, причем всего белых полосок на 7 больше, чем широких черных. Сколько всего у Марти узких черных полосок?

Решение:
Сначала посмотрим только на широкие черные полоски. Их на 7 меньше, чем белых. Если к широким черным полоскам добавить узкие черные, то это будут уже все черные полоски, которых на 1 больше, чем белых. Значит, для нахождения количества узких черных полосок нужно сначала "скомпенсировать" 7 белых полосок - число, на которое белых было больше, а затем добавить еще одну. Получается 7 + 1 = 8.

Ответ: 8.

Задача 3.

За круглый стол рассадили несколько человек так, что между соседними людьми расстояния одинаковые. Одному из них дали табличку с номером 1 и дальше по часовой стрелке раздали всем таблички с номерами 2, 3 и т.д.

Человек с табличкой с номером 31 заметил, что от него до человека с табличкой с номером 7 такое же расстояние, как и до человека с табличкой с номером 14. Сколько всего людей сели за стол?

Решение:
Чтобы такая ситуация была возможна, людей от 31-го до 14-го нужно считать по кругу в сторону уменьшения номеров, а от 31-го до 7-го - по кругу в сторону увеличения номеров.
Между 31-м и 14-м сидит 16 человек. Значит, между 31-м и 7-м тоже 16 человек. Среди них 6 с номерами от 1 до 6, тогда оставшиеся 16 - 6 = 10 человек - это люди с номерами от 32-го. Самый большой номер получается 41.

Ответ: 41.

Задача 4.

На кружки по математике записалось несколько школьников. Их хотят распределить по группам равномерно - таким образом, чтобы количество учеников в любых двух группах отличалось не более чем на 1.

В результате такого равномерного деления получилось 6 групп, среди которых ровно 4 группы по 13 учеников. Сколько всего могло быть школьников? Укажите все возможные варианты.

Решение:
Так как количество учеников в группах отличается не более, чем на 1, то в оставшихся двух группах может быть по 12 или по 14 учеников (ясно, что групп из 12 и 14 учеников одновременно быть не может). Значит, общее количество учеников может быть равно 13 x 4 + 12 x 2 = 76 или 13 x 4 + 14 x 2 = 80.

Ответ: 76 или 80.

Задача 5.

Пять последовательных натуральных чисел написаны в ряд. Сумма трех самых маленьких из них равна 60. Чему равна сумма трех самых больших?

Решение. Пятое число на 4 больше первого, а четвертое - на 2 больше второго. Тогда сумма трех самых больших чисел на 2 + 4 = 6 больше суммы трех самых маленьких, и она равна 60 + 6 = 66.

Ответ: 66.

Сегодня на занятии были обобщены свойства сравнения натуральных чисел, а также разобраны олимпиадные задания по теме.