Пять знаменитых задач древности

Геометрия и геометрические задачи развивались на основе практических задач измерения, но геометрическая форма задачи обычно является только средством для того, чтобы поставить алгебраический вопрос.

Существует три знаменитые задачи древности:

1. квадратура круга;
2. трисекция угла;
3. удвоение куба.

Но некоторые ученые и авторы считают, что к ним также следует отнести следующие две задачи древности:

• деление окружности на равные части (построение правильных многоугольников);
• квадратура луночек.

Итого мы насчитываем пять знаменитых задач, которые возникли в глубокой древности из практических потребностей людей.

На первом этапе своего существования они выступали как вычислительные задачи: по некоторым "рецептам" вычислялись приближенные значения искомых величин. (площадь круга, длина окружности и др.)

На втором этапе истории этих задач (VI в. до н.э. – VI в. н. э.) происходят существенные изменения их характера: они становятся геометрическими (конструктивными задачами).

Рассмотрим одну из этих задач более подробно.

Удвоение куба

Все известные нам античные решения задачи об удвоении куба описаны Евтокием (VI в. н.э.) в комментарии к книге Архимеда "О шаре и цилиндре". К этим решениям относятся:

• решение Архита Тарентского (IV в. до н.э.), в котором используются пространственные построения с пересечением тора, цилиндра и конуса;
• механическое решение, приписываемое Платону (IV в. до н.э.);
• два решения Менехма (IV в. до н.э.) с коническими сечениями;
• механическое решение Эратосфена Киренского (III в. до н.э.), в котором применяется специальное устройство с прямоугольными пластинками;
• решение Никомеда (III в. до н.э.), в котором используется специальная механическая кривая — конхоида, предназначенная для выполнения вставок;
• группа схожих решений, принадлежащих Филону Византийскому (III в. до н.э.), Аполлонию Пергскому (конец III в. до н. э.) и Еерону Александрийскому (I в. н. э.); в этих решениях применяются разного рода вставки.

О происхождении задачи

Эта задача первоначально формулировалась так: построить куб, объем которого был бы в два раза больше объема данного куба. В дальнейшем с помощью алгебраической символики эта задача была сформулирована следующем образом: дан куб с ребром, построить новый куб с ребром х так, чтобы x³ = 2a³ cтав затем одной из конструктивных задач, она сводилась к построению отрезка прямой x = a³√2, а при a = 1 – к построению отрезка x = ³√2.

Эта задача могла возникнуть из практических потребностей: например, учитывая удвоение урожая в этом году, пришлось удвоить объем хранения продукции, имевшей форму куба, или удвоить вместимость кубического водохранилища, сохранив такую же форму.

О практическом и культовом происхождении задачи об удвоении куба говорят и легенды, связанные с этой задачей. В одной из них говорится, что Критский король Минос приказал архитекторам установить памятник своему сыну Главку. Архитекторы сделали памятник кубической формы с ребром в 100 локтей.

Миносу нравилась форма памятника, но они находили его слишком маленьким и приказывали увеличить его вдвое. Архитекторы долго боролись, чтобы найти длину ребра нового куба, но не смогли найти его. Осознав их бессилие, архитекторы обратились за помощью к геометрии, но и геометры не смогли решить эту проблему.

О возникновении задачи удвоения куба сохранилась еще одна легенда, она принадлежит Эратосфену (276 – 194 гг. до н.э), знаменитому греческому математику, астроному и философу: "... во время эпидемии чумы послали афиняне в Дельфы вопросить оракула, что им сделать, чтоб чума прекратилась. Бог ответил им: удвоить алтарь и принести на нем жертвы.

А так как алтарь был кубической формы, они взгромоздили на него еще один такой же куб, думая тем исполнить повеление оракула. Когда же чума после этого не прекратилась, отправились они к Платону и спросили, что же теперь делать. Тот отвечал: "Сердится на вас бог за незнание геометрии", — и объяснил, что следовало подразумевать здесь не простое удвоение, но найти некое среднее пропорциональное и произвести удвоение с его помощью; и как только они это сделали, чума тотчас же кончилась".

Эта легенда сравнительно поздняя; в ней многое искажено: задачей удвоения куба занимался еще Гиппократ Хиосский, живший до Платона. Но эта легенда сохранила множество источников. В ней много интересного: для древних греков совсем не чуждым было мнение, что боги могут гневаться за незнание геометрии. С того момента задачу об удвоении куба стали называть "делосской".

Более подробно рассмотрим решение Гиппократа Хиосского и Архита Тарентского.

Приходя к необходимости построить отрезок прямой, равный a³√2, Гиппократ Хиосский (около 420 г. до н.э.), вероятно, пытался сначала решить эту задачу с помощью циркуля и линейки. Но осознав трудность их решения таким образом, он попытался свести решение этой (стереометрической) задачи к планиметрической.

Он показал, что эта задача будет решена, если удастся построить два отрезка x и y, которые связаны с данными отрезками  a и 2a соотношением a:x = x:y = y:2a, где a - ребро данного куба, а x - ребро иского куба. Как он это обосновал неизвестно.

Занимаясь решением задачи квадратуры круга, Гиппократ впервые построил криволинейные фигуры - луночки, для которых при помощи циркуля и линейки можно построить равновеликие им фигуры, ограниченные прямыми.

Архит Тарентский тоже пытался решить данную задачу. Архит фактически ищет пересечение поверхностей тора конуса и цилиндра. Если, в частности, положить АΔ = 2а, Г = АВ = АМ = а и переменные отрезки AI=x и АК=y, то можно сказать, что Архит нашел зависимость между этими отрезками в виде 2a:y = y:x = x:a. А это равносильно задаче x³ = 2a³.

Следовательно, если АВ = Г = а есть ребро, данного куба, то ребром нового куба x, объем которого в два раза больше данного, будет отрезок AI = a³√2. Так появилось первое из известных решений задачи об удвоении куба.

Эрнест Кольман писал, что: "...наибольшее достижение Архита – его смелое решений делийской проблемы при помощи пересечения трех поверхностей вращения". После Архита свои решения данной задачи представили: Платон, Герон, Филон, Апполоний, Эратосфен, Никомед.