Внимание, головоломка!

Для успешного освоения программы школьного обучения ребенку необходимо не только много знать, но и уметь логически мыслить.

Задача развития познавательных способностей детей может быть решена только в том случае, если ей будут подчинены и содержание, и методы учебной работы.

Большое значение имеет подбор таких заданий для занятий математикой, которые требовали бы от детей проведения самостоятельных наблюдений, сравнения, описания рассматриваемых явлений, описания выполнения действий.

Особый интерес представляет головоломка о расстановке цифр: "Нарисуй такие кружки и заполни их различными нужными цифрами от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел по каждой стороне "треугольника" была равна 20, равна 17".

Головоломка

При решение этой головоломки возникает целый ряд вопросов, ответы на которых не так просты:

  • Почему сумма чисел по каждой стороне треугольника 17 и 20, а не 18 и 22?
  • Может ли сумма чисел по каждой стороне треугольника быть равной 16? 19? 24?
  • Если расстановка цифр по сторонам треугольника возможна, то она единственна или нет?
  • Любые ли 3 цифры можно записать в вершинах треугольника?
  • Как упростить поиск решения?

В данной статье ответим на вопросы по решению данной головоломки.

1. Узнаем возможные значения для сумм по каждой стороне треугольника при расстановке цифр от 1 до 9:

а) наименьшая сумма получится, если в вершинах треугольника записаны цифры 1, 2, 3. Сумма всех чисел от 1 до 9 равна 45; сумма чисел по трем сторонам треугольника равна 45+1+2+3=51, так как числа, стоящие в вершинах, суммируются дважды, сумма чисел по каждой стороне треугольника равна 51:3=17. 17 - наименьшая возможная сумма чнтырех чисел по каждой стороне треугольника.

б) наибольшая сумма получится, если в вершинах "треугольника" записаны цифры 7, 8, 9. Сумма чисел по трем сторонам "треугольника" равна 45+7+8+9=69, сумма чисел по каждой стороне "треугольника" равна 69:3=23, 23 - наибольшая возможная сумма четырех чисел по каждой стороне "треугольника".

Возможные значения сумм по каждой стороне "треугольника": 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23. При проверке убеждаемся, что головоломка имеет решение для чисел 17, 19, 20, 21 и 23; сумма чисел по каждой стороне треугольника.

Не может быть равна 18 и 22; в некоторых случаях решение неоднозначно. (таблица)

Сумма чисел по каждой стороне «треугольника»

Сумма чисел в вершинах «треугольника»

Тройки цифр в вершинах «треугольника»

Число решений

17

6

(1, 2, 3)

2

19

12

(1, 4, 7), (2, 3, 7)

4

20

15

(1, 5, 9), (2, 5, 9), (4, 5, 6), (3, 5, 7)

6

21

18

(3, 6, 9), (3, 7, 8)

4

23

24

(7, 8, 9)

2

Ответ. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составить 84 неупорядоченных тройки. Из расположения троек можно заменить способ их выписывания. Цветом выделены тройки цифр, сумма чисел которых делится на 3.

123   134   145   156   167   178   189

124   135   146   157   168   179

125   136   147   158   169

126   137   148   159

127   138   149

128   139

129

 

234   245   256   267  278   289

235   246   257   268   279

236   247   258   269

237   248   259

238   249

239

 

345   356   367   378   389

346   357   368   379

347   358   369

348   359

349

 

456   467   478   489

457   468   479

458   469

459

 

567   578   589

568   579

569

 

678   689

679

 

789

Всего 84.

2. Некоторые рекомендации по решению головоломки.

Работа с условием головоломки

  • Назови и покажи числа в порядке возрастания, записанные в кружках. Что ты заметил? (в кружках записаны все цифры от 1 до 9)
  • Назови числа по каждой стороне "треугольника".
  • Найди сумму чисел по каждой стороне "треугольника" что ты заметил?

Рисунок 2

(на перром рисунке суммы чисел по каждой стороне "треугольника" разные, на втором – все суммы равны одному и тому же числу)

Назови числа, записанные в вершинах "треугольника". Вычисли сумму этих чисел для каждого "треугольника", сравни суммы. Чем они отличаются? (16 и 12, 12 делится на 3, 16 не делится на 3)

Подготовительная работа

  • Какие цифры из промежутка от 1 до 9 надо записать в пустые кружки? Каждая цифра должна быть записана только один раз (4, 7 и 8).
  • Расставить цифры 4, 7 и 8 в пустые кружки так, чтобы сумма чисел по каждой стороне 2 треугольника" была равна 21.

Рисунок 3

Продолжи заполнение кружков различными цифрами из промежутка от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел по каждой стороне "треугольника" была равна 20. (По каждой стороне "треугольника" записаны числа 8=3+5, 10=3+7, 12=5+7, остается дополнить эти числа до 20)

Других способов расстановка цифр 1, 2, 6, 8, 9, 4 нет.

Продолжи заполнение кружков (рис.6) от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел по каждой стороне "треугольника" была равна 20 Цифры не должны повторяться. (В вершинах "треугольника" надо расставить цифры 1, 5, 9. Суммы двух чисел по каждой стороне равна 14,6 и 10. Остается записать дополнения этих чисел до 20, т.е. 6=1+5, 10=1+9, 14=9+5)

Продолжи заполнение кружков цифрами от 1 до 9 так, чтобы цифры не повторялись, и чтобы сумма чисел по каждой стороне "треугольника" была равна 19. (Сумма чисел в вершинах "треугольника" равна 12, из таблицы находим тройку цифр (1, 4, 7), подбираем другие цифры и т. д.)

Рисунок 4

Увеличить каждое число, записанное по стороне "треугольника", в 5 раз. Во сколько раз увеличится сумма чисел по каждой стороне "треугольника"? Проверь, на сколько увеличится сумма чисел по каждой стороне "треугольника"

Запиши в пустые кружки такие цифры из промежутка от 1 до 9, чтобы все цифры по сторонам "треугольника" были различными и суммы чисел по каждой стороне "треугольника" были равны одному и тому же числу. (Так как в вершинах "треугольника записаны цифры 1, 2, 3, то сумма чисел по каждой стороне "треугольника равна 17)

Поменяй местами две цифры так, чтобы суммы чисел по каждой стороне "треугольника" были равны. (В первом треугольнике надо поменять местами цифры 3 и 7, во втором – цифры 2 и 3)

Заполни кружки различными цифрами от 1 до 9 так, чтобы суммы чисел по каждой стороне были соответственно равны 18, 19 и 20.

Рисунок 5Рисунок 5

В ходе решения данных головоломок дети учатся планировать свои действия, обдумывать поиск результатов. Эта работа активизирует и мыслительную деятельность детей.

Чтобы скачать материал зарегистрируйтесь или войдите!

Метки к статье: занимательный материал