Статья "Функциональная содержательная линия школьного курса математики"

Функциональная содержательная линия является одной из основных в школьном курсе математики. Осмысление ее роли в реализации современных подходов в обучении (компетентностного, развивающего, исследовательского и т.д.) является актуальным методическим заданием.

Прошло уже почти 100 лет с начала активного формирования функциональной содержательной линии в школьном курсе математики.

В резолюциях І и ІІ Всероссийских съездов преподавателей математики, которые проходили в 1911-1914 гг., подчеркивалась необходимость проведения через весь курс математики средней школы идеи функциональной зависимости. Роль этой линии, ее содержание изменялись "волнообразно".

Но всегда оставалась надежда, что со временем эта линия станет стержнем для всего курса математики. Можно привести много аргументов в пользу этой надежды. Главный из них связан с тем, что установление связей между разными характеристиками процессов и явлений, исследование их свойств является одним из самых важных путей познания на разных его уровнях, в разных сферах деятельности.

Функции и инструментарий их исследования является наиболее удобным и полезным средством для этого. Не случайно, что введение в ХVII веке понятия функции и создание аппарата для ее исследования стало революцией не только в математике, но и во многих сферах деятельности человека и на много лет определило направление развития, как математики, так и ее приложений.

Но, к сожалению, эти надежды еще не реализованы в современной школе в полной мере. Одной из главных причин этого является восприятие функциональной содержательной линии в школе с позиции высшей математики. Это один из ярких примеров негативного влияния высшей школы на школьное математическое образование.

Функциональная пропедевтика

Для осмысленного усвоения сведений о функции в курсе алгебры необходимо, начиная с 1 класса, проводить функциональную пропедевтику - подготовительную работу, направленную на формирование понятия функции, способов ее задания, свойств отдельных видов функции. В 1 классе, решая текстовые задачи, учащиеся определяют зависимость стоимости товара от цены, изменение результатов действий от изменения компонентов, вычисляют значения выражений.

В 3 классе учащиеся вычисляют путь в зависимости от скорости и от времени, определяют площадь прямоугольника в зависимости от длины одной из сторон и др. В 6 классе строят диаграммы, решают текстовые задачи, знакомятся с понятием "координатная плоскость", строят графики зависимостей, еще не называя их функциями.

В программе по математике сделан существенный шаг на пути усиления функциональной содержательной линии. В значительной мере это наблюдается и в проектировании пропедевтического курса математики 5-6 класса. Более ощутимо это в курсе алгебры 7-9 классов, где функциональная содержательная линия является сквозной. Она начинается темой "Функции" в 7 классе, поддерживается рассмотрением отдельных классов функций напротяжении 8 класса и занимает главное место в 9 классе.

В программе курса "Алгебры и начал анализа" функциональная содержательная линия является значительной. Введение самых важных для применения классов функций (степенных, тригонометрических, показательных, логарифмических), разработка аппарата для исследования функций составляют основное содержание курса.

Безусловно, роль программы в введении функциональной содержательной линии является значимой. Но еще большее значение имеет реализация программы в учебниках. После изучения курса математики 5-6 классов учащийся должен овладеть такими приемами математической деятельности, которые относятся к функциональной содержательной линии:

1. овладеть буквенной символикой;
2. вычислять значения выражений при заданных значениях букв;
3. овладеть правилами составления числовых и буквенных выражений;
4. выполнять вычисления по формулам;
5. составлять формулы для записи правил, свойств, зависимостей;
6. устанавливать связи между величинами: ценой, количеством и стоимостью;
   скоростью, временем и расстоянием при равномерном движении; массой одного предмета, количеством предметов и общей массой и т.д.;
7. устанавливать, как изменяется результат арифметического действия приизменении компонентов;
8. пользоваться табличной формой представления информации;
9. изображать числа на координатном луче и координатной прямой;
10. владеть прямоугольной системой координат, изображать на ней зависимости между реальными величинами (температурой воздуха и временем суток, роста определенного ребенка и его возрастом и т.д.), читать графики зависимостей, изображенных в системе координат;
11. различать прямую и обратную пропорциональные зависимости, применять их для моделирования зависимостей между величинами.

Как уже отмечалось, основным предназначением функциональной содержательной линии в школьном курсе математики является формирование специфического типа мышления - функционального. Этот вид мышления дает человеку возможность видеть и исследовать причинно-следственные связи, анализировать процессы и явления, прогнозировать их поведение в будущем, оптимизировать их параметры.

Он предусматривает сформулированность многих общепознавательных приемов деятельности (анализ, синтез, обобщение, конкретизация и т.д.) и вместе с этим содействует их развитию. Особое значение для формирования и развития функционального мышления имеют приемы знако-символьной деятельности, математического моделирования, образного мышления, исследовательской деятельности. В свою очередь, целенаправленное развитие функционального мышления совершенствует и обогащает указанные приемы познавательной деятельности.

Знако-символьная деятельность является одним из самых главных приемов познавательной деятельности, содержание которой состоит в использовании и преобразовании системы знако-символьных средств: замена, кодировка, схематизация, моделирование.

Роль функциональной содержательной линии в развитии знако-символьной деятельности трудно переоценить. Во-первых, существенно расширяется количество знаков, которыми кодируются математические объекты: функция, область определения, производная, интеграл. Ее характер и назначение существенно отличаются от символов, которые применяются в других содержательных линиях.

Во-вторых, и это главное, новые знаковые средства отображают математические объекты разной природы, которые не имеют прямых аналогов в предыдущем опыте. Кстати, исторически формирование знаков и символов функциональной содержательной линии совершалось в процессе уточнения понятий, идей. Поэтому существует некоторая неоднозначность и вариативность в применении знако-символьных средств. Эти обстоятельства также требуют определенного внимания.

Таким образом, при рассмотрении функциональной содержательной линии есть возможность построения синтаксиса специального языка, который состоит из общего языка и специфических знако-символьных средств

Роль функциональной содержательной линии в реализации прикладной направленности обучения математике без преувеличения является значительной. Функции и задачи, связанные с ними, являются одними из самых важных моделей. Разные классы функций соответствуют разным типам зависимостей: линейным, квадратичным, степенным и т.д. Представление этого соответствия является одним из главных заданий функциональной содержательной линии. Исследование свойств основных классов функций с широким применением метода математического моделирования составляет основу для их применений в решении прикладных задач.

Функциональная содержательная линия имеет важное значение в развитии образного мышления. Графическое изображение функциональных зависимостей является эффективным средством целостного их представления. Поэтому построение графика функций является одной из главных задач функциональной содержательной линии. Решение этой задачи требует как определенных аналитических умений, так и графической культуры.

Построение графиков при помощи геометрических преобразований является эффективным средством формирования и развития приемов образного мышления высшего уровня, а именно, таким его составляющих, как перемещение образов, изменение их структуры. Построение графиков в прикладных задачах содействует образному представлению процессов и явлений.

Чтение графиков функций является, в определенном смысле, обратной задачей. Она состоит в выделении характеристик, свойств функций, т.е. в разложении целостного образа на составляющие. Особенно содержательной она является в чтении графиков конкретных величин. В этом случае существенно усложняется интерпретация образа.

Перечислим приемы математической деятельности, связанной с функциональной содержательной линией, направленные на развитие образного мышления:

• Чтение графика.
• Построение графика функции с заданным набором свойств. Например, предлагается построить график функции с заданными областью определения, множеством значений, промежутками монотонности, точками экстремума и т.д.
• Достроение графиков. По заданной части графика достроить его так, чтобы он удовлетворял определенному свойству (четность, периодичность и т.д.)
• Визуализация связей: например - предлагается набор графиков, которые необходимо поделить на пары "функция - производная"; или предлагается набор графиков и набор формул, необходимо сопоставить каждому графику формульное задание функции; или предлагается набор графиков функций и перечень свойств функций, необходимо каждому графику функции сопоставить определенное свойство.
• Словесное описание графика, например, составление рассказа по графику.
• Графические способы решения уравнений и неравенств.

Функциональная содержательная линия имеет большой потенциал в формировании и развитии исследовательских учений учащихся. Обращая внимание на то, что исследовательский подход в обучении имеет большой спрос в современном обществе, можно утверждать, что функциональная содержательная линия является эффективным путем введения этого подхода.

Одна из основных задач этой содержательной линии формулируется как исследовательская: "Исследовать функцию...". Чтение графиков, конструирование функций с заданными свойствами является определенными видами исследовательской деятельности.

Приведенная выше характеристика развития общих приемов мышления при помощи функциональной содержательной линии дает возможность сделать такие выводы.

• Функциональная содержательная линия имеет большой потенциал в формировании и развитии как мышления вообще, так и отдельных его видов: знако-символьного, образного, творческого.
• Функциональная содержательная линия обеспечивает условия для органического взаимодействия многих приемов умственной деятельности: моделирование требует аналитических и графических умений, образное мышление связано с образами разной природы, исследование требует моделирование и графической культуры и т.д.
• Полноценная реализация функциональной содержательной линии дает возможность сделать важный вклад в реализацию прикладной направленности обучения математики, обеспечить целостность курса математики для разных уровней усвоения учебного материала.