Практическое занятие по геометрии на тему "Нахождение углов между прямой и плоскостью. Использование признака перпендикулярности плоскостей"

Учебная цель: формировать пространственное мышление; систематизировать знания по теме.

Учебные задачи:

  • обобщить, систематизировать и закрепить полученные знания на предыдущих уроках:
  • проверить свои знания теории при решении задач.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Определения перпендикулярности прямых в пространстве

Перпендикулярность прямых

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°

Лемма

Параллельные прямые

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Определение перпендикулярности прямой и плоскости

 

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендику-лярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости

Обозначение: a ⊥ α

Перпендикулярность прямой и плоскости

Свойство

Если a ⊥ α, то a ∩ α = M. (пересечение а и )
Доказательство:

Прямая и плоскость или пересекаются в одной точке, или параллельны, или прямая лежит в плоскости.

Прямая на плоскости


Теорема
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перепедикуляная к этой плоскости.

Прямые, перпендикулярные к плоскости

Обратная теорема
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Обратная теорема

Задача 1
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что DC⊥B1C1 и AB⊥A1D1, и ∠BAD = 90º если:

Рис. к задаче 1

Доказательство:
ABCD – прямоугольник, так как в параллелограмме ABCD угол ∠BAD = 90º.
Прямая В1С1 параллельна прямой ВС, а прямая ВС перпендикулярна прямой DС. Значит, по лемме, прямая DС перпендикулярна В1С1.
Прямая АВ перпендикулярна прямой ВС, а ВС параллельна прямой A1D1. Значит, по лемме, прямая АВ перпендикулярна A1D1. Задача доказана.
Рассмотрим другое доказательство факта, что DC⊥B1C1.
Угол DCB равен углу между прямыми DC и В1С1. Угол DCB – прямой. Значит, прямые DС и В1С1 перпендикулярны.

Задача 2
В тетраэдре ABCD - BC⊥AD. Докажите, что AD⊥MN, где М и N середины ребер АВ и АС.

Тетраэдр

Доказательство:
MN – средняя линия треугольника АВС. По свойству средней линии, ВС параллельна MN.
Прямые ВС и MN параллельны, а прямые ВС и AD перпендикулярны. Значит, по лемме, прямые AD и MN перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Задания для практического занятия

Задание 1
подготовка к работе на занятии:

  • настрой на работу, организация внимания;
  • проверка домашнего задания;
  • актуализация опорных знаний.

Задание 2
Фронтально с группой:

Закончить предложение:
а) две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если… (угол между ними равен 90°)
б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если… (она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости)
в) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они… (параллельны)
г) если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она… (перпендикулярна и к другой прямой)
д) если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они… (параллельны)

Задание 3
Глава 2, §1, Стр. 34 Л.С. Атанасян и др., Геометрия. 10-11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Работа по учебнику.
а) Прочитать материал стр. 34-38. Записать основные определения себе в тетрадь.

Работа в парах. Вопросы друг другу и преподавателю.
а) Лемма стр. 34 разобрать у доски. Обсуждение. Записать в тетрадь.
б) Теорема стр. 35 разобрать у доски. Обсуждение. Записать в тетрадь.
в) Теорема стр. 36 разобрать у доски. Обсуждение. Записать в тетрадь.
г) Теорема стр. 38 разобрать у доски. Обсуждение. Записать в тетрадь.

Задание 4
Самостоятельно выполнить задания № 116. (с проверкой у доски – несколько человек)

Задание 5
Сделать самостоятельно № 117. Дополнительно (индивидуально) тем, кто быстрее справится с заданиями: № 119 (а). Обсудить и проверить решения друг с другом.

Задание 6
Глава 2, §2, Стр. 40 Л.С. Атанасян, Геометрия. 10-11 кл.

Работа по учебнику.
а) Прочитать материал стр. 40-44 Записать основные определения себе в тетрадь. Работа в парах. Вопросы друг другу и преподавателю.
б) Теорему о трех перпендикулярах стр. 42 разобрать у доски. Обсуждение. Записать в тетрадь.
в) Определение стр. 43 разобрать у доски. Обсуждение. Записать в тетрадь.

Задание 7

Самостоятельно выполнить задания № 149, 150. (с проверкой у доски – несколько человек)

Задание 8
Сделать самостоятельно № 154. Дополнительно (индивидуально) тем, кто быстрее справится с заданиями: № 162. Обсудить и проверить решения друг с другом.

Задание 9
Глава 2, §3, Стр. 47 Л.С. Атанасян и др., Геометрия. 10-11 кл.

Работа по учебнику.
а) Прочитать материал стр. 47-52. Записать основные определения себе в тетрадь.
Работа в парах. Вопросы друг другу и преподавателю.
б) Теорему стр. 49 разобрать у доски. Обсуждение. Записать в тетрадь.
в) Следствие из теоремы стр. 50 разобрать у доски. Обсуждение. Записать в тетрадь.
г) Теорему стр. 51 разобрать у доски. Обсуждение. Записать в тетрадь.
д) Следствие стр. 51 разобрать у доски. Обсуждение. Записать в тетрадь.

Задание 10
Самостоятельно выполнить задания № 170. (с проверкой у доски – несколько человек)

Задание 11
Сделать самостоятельно № 173. Разобрать задачу 362. Обсуждение. Дополнительно (индивидуально) тем, кто быстрее справится с заданиями: № 185. Обсудить и проверить решения друг с другом.

Проверочная работа по теме: "Прямые и плоскости в пространстве"

Вариант 1

1. Из вершины A квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведен отрезок AK, равный 3. Из точки K опущены перпендикуляры на стороны BC и CD. Перпендикуляр из точки K к стороне BC равен 6. Найдите углы, которые образуют эти перпендикуляры с плоскостью квадрата.

2. В кубе A…D1 найдите угол между прямой AA1 и плоскостью AB1C1.

Куб

3. В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD1.

4. Из вершины A квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведен отрезок AK, равный 3. Из точки K опущены перпендикуляры на стороны BC и CD. Перпендикуляр из точки K к стороне BC равен 6. Найдите углы, которые образуют эти перпендикуляры с плоскостью квадрата.

5. В кубе A…D1 найдите угол между прямой AA1 и плоскостью AB1C1.
6. В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD1.

Куб A…D1

7. В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ACC1 и BDD1.

Найдите угол между плоскостями

8. В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и BC1D.

Найдите угол между плоскостями ABC и BC1D

9. В тетраэдре ABCD, ребра которого равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BCD.

Тетраэдр ABCD

Вариант 2

1. Из вершины A квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведен отрезок AK, равный 6. Из точки K опущены перпендикуляры на стороны BC и CD. Перпендикуляр из точки K к стороне BC равен 18. Найдите углы, которые образуют эти перпендикуляры с плоскостью квадрата.

2. В кубе A…D1 найдите угол между прямой AB1 и плоскостью BCC1.

Найдите угол между прямой и плоскостью

3. В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA1.

Найдите угол между плоскостями ABC и CDA1

4. В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD1.

Найдите угол между плоскостями в кубе

5. В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями BC1D и BA1D.

Найдите угол между плоскостями BC1D и BA1D

 

6. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SBC и ABC.

Правильная пирамида

7. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ACC1 и BCC1.

Правильная треугольная призма

8. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и ACB1.

Треугольная призма ABCA1B1C1

9. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SAD и SBC.

Правильная пирамида SABCD

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию

  1. Какие две плоскости называются перпендикулярными?
  2. Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости?
  3. Что называется расстоянием от точки до плоскости?
  4. Что называется расстоянием между параллельными плоскостями?
  5. Что называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью?
  6. Как измерить расстояние между скрещивающимися прямыми?
  7. Что называют углом между прямой и плоскостью?
  8. Что называется общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых?
  9. Что называется расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми?
  10. Как измеряется двугранный угол?
Чтобы скачать материал зарегистрируйтесь или войдите!