Методика развития пространственных представлений младших школьников на уроках математики

Изучая методические разработки и рекомендации о путях и способах формирования и развития пространственных представлений у учащихся, можно заметить, что подавляющее большинство их авторов приходят к выводу о необходимости:

– используя способность детей шестилетнего возраста к восприятию формы, начинать формирование пространственных представлений учащихся с первых уроков математики в 1-м классе.

При знакомстве учеников с геометрическими фигурами следует опираться не только на зрительное восприятие образа ребенком, но и на все другие анализаторы, учитывая мнение психолога Е.Г. Ананьева о том, что связующая роль между всеми анализаторами принадлежит двигательно-кинестетическому анализатору;

– придерживаясь последовательности изучения геометрического материала в начальной школе, предусмотренного учебными программами по математике, в первую очередь помочь детям осмыслить основные пространственные отношения.

При формировании пространственных отношений одним из основных видов практической деятельности ребенка могут выступать действия по построению геометрических фигур, с помощью которых фиксируется результат мыслительной деятельности по осознанию опыта ориентации в пространстве и начинается овладение простейшими графическими умениями

На формирующем эксперименте была проведена серия экспериментальных занятий, в ходе которых регулярно осуществлялось обучение учащихся экспериментального класса решению задач на построение. Учащиеся также выполняли разнообразные геометрические построения. При этом, учитывая цель и задачи нашего исследования, а также возрастные особенности учащихся, в формирующем эксперименте использовалась методика систематического и поэтапного выполнения упражнений школьниками, т.е. упражнения и задания на построения носили систематический и поэтапный характер.

Первый этап – пропедевтический. В учебный процесс сначала вводились "пробные упражнения", которые позволяли закреплять знания о простейших геометрических фигурах и умения их построения. В качестве подготовки мы взяли графические диктанты.

Второй этап – усвоение образца рассуждения учителя при решении познавательных задач. На данном этапе дети овладевают опытом решения задач на построения по образцу и по аналогии.

Третий этап – частично–самостоятельное решение познавательных задач. На этом этапе идет формирование опыта выполнения заданий на построение в сотрудничестве с учителем или учащихся друг с другом.

Четвертый этап – самостоятельное выполнение учащимися геометрических построений.

Пятый этап – творческие задания. Дидактическим содержанием данного этапа являются задания, которые интересны для детей и требуют от них творческого участия. Например, смастери из 12 одинаковых палочек куб, скрепив их пластилином.

Приведем примеры построения простейших геометрических фигур, задачи на разрезание и складывание фигур, геометрические построения на клетчатой бумаге, которые использовались на уроках математики в экспериментальном классе.

Построение простейших геометрических фигур

Так же как здание складывается из маленьких кирпичей, так и сложные геометрические построения осуществляются из построений простейших геометрических фигур. Поэтому учащиеся начальной школы должны уметь строить простейшие геометрические фигуры и обозначать их.

Построение отрезка

1. Отметь в тетради две точки и обозначь их заглавными латинскими буквами, например А и В.
2. Приложи к этим точкам линейку и от точки А к точке В по линейке проведи прямую линию.
3. Убери линейку в сторону и посмотри, что у тебя получилось.
4. Перед тобой отрезок АВ. Точки А и В называют концами отрезка.

Построение прямой линии

1. Начерти в тетради отрезок АВ, продолжи его сначала в одну сторону, например за точку В, а потом – в другую, за точку А. Получился новый отрезок МN.
2. Между точками М и N выбери любую точку К и продолжи отрезок КN за точку N. Получится еще одна точка – точка Р. Отрезок МР является продолжением отрезка МN за точку N.
3. Аналогично получи точку О.
4. Продолжай построение отрезков до края страницы.
5. бери линейку и карандаш в сторону и попытайся представить себе, что ты еще немного протягиваешь-продолжаешь полученный отрезок за края страницы, сначала – за один, потом за другой. Еще чуть-чуть протяни-продолжи.

Трудно? Если бы тебя ничто не ограничивало в таком продолжении отрезка: ни лист тетради, ни стол, ни комната, ни город, ни... весь белый свет, то... это была бы уже прямая линия, а не отрезок. Прямая линия не имеет концов. Можно сказать, что прямая получается при неограниченном продолжении отрезка за оба конца.

Построение луча

1. Построй отрезок АВ.
2. Продолжи отрезок АВ за точку В.
3. Мы получили геометрическую фигуру, которую называют лучом.

Задачи на разрезание и складывание фигур

В процессе формирования пространственных представлений учащиеся должны уметь создавать геометрические образы фигур. Такие упражнения способствуют более глубокому пониманию формы геометрической фигуры и соотношений между ее размерами. Важно, чтобы все предлагаемые задания были проделаны каждым учеником, и словесное описание сопутствовало всему тому, что выполняет мысль и рука учащегося.

Геометрические построения на клетчатой бумаге

С первого класса дети на уроках математики пользуются клетчатой бумагой. Однако сказать, что они используют все ее возможности, никак нельзя. Бумага эта используется как бумага в линейку. Только иногда, главным образом при изучении действий с многозначными числами, клетка используется как таковая: если писать по правилу “каждая цифра – в отдельной клетке, соседние цифры – в соседних клетках”, то количество ошибок резко сокращается.

Между тем использовать возможности бумаги в клетку можно намного шире и с большей пользой для учащихся. Покажем это на примере геометрических построений, важность которых для младших школьников ни у кого не вызывает сомнений. В этих построениях бумага в клетку выступает как мощный измерительный и конструктивный инструмент.

Задача 1
Скопировать по клеткам с клетчатой доски вертикальный или горизонтальный отрезок и записать, какова длина отрезка на доске и какой длины получился отрезок в тетради.
Ученик решает эту задачу, считая клетки. Ответ получается из знания длины клетки на доске и длины клетки в тетради.

Задача 2
Построить отрезок заданной длины.

Задача 3
Скопировать по клеткам наклонный отрезок с концами в узлах клетки и измерить его длину.

Легко скопировать отрезок AB – нужно двигаться по противоположным вершинам клеток, считая их (в данном случае нужно отсчитать 4 клетки). Труднее с остальными отрезками. Чтобы их скопировать, нужно отметить верхний конец в любом узле клетки (скажем, отступив 2 клетки от последней исписанной строки).

А затем надо понять, по какой ступеньке спускаться к нижнему концу отрезка. В случае отрезка MN ступенька имеет высоту 2 клетки, а ширину (влево) 3 клетки. В случае отрезка DE – ступенька высотой 3 клетки и шириной (вправо) – 5 клеток.

Задача 4
Начертить два отрезка, равных данному.

Задача 5
Скопировать по клеткам квадрат и проверить, что все его стороны равны и все углы прямые. В случае параллельности сторон квадрата линиям сетки проверка равенства длин сторон сводится к непосредственному подсчету количества клеток. В общем случае – приходится использовать линейку с делениями или – циркуль с линейкой.

Проверка прямых углов в первом случае получается с ссылкой на бумагу в клетку: одна сторона горизонтальная, а другая вертикальная, значит, угол прямой. В общем случае приходиться применять чертежный угольник.

Задача 6
Скопировать по клеткам отрезок АВ и построить квадрат ABCD.

Задача 7
Скопировать по клеткам окружность. Для решения этой задачи нужно установить раствор циркуля равным расстоянию от центра до точки окружности. Удобно сосчитать клетки на вертикальном или на горизонтальном радиусе.

Задача 8
Построить треугольник с двумя равными сторонами (равнобедренный). Обычно основание (третью сторону) изображают на чертеже горизонтально.
На клетчатой бумаге нарисовать равнобедренный треугольник в таком положении совсем не трудно. На горизонтальной линии сетки отложим основание равнобедренного треугольника АС с четным количеством клеток.

От середины основания – точки D – по вертикальной линии сетки, отступив несколько клеток, отметим вершину В треугольника. Соединив ее с концами основания, получим равнобедренный треугольник.

Можно сделать довольно точный чертеж треугольника, имеющего три равные стороны (равностороннего): основание АС – 8 клеток, а высота BD – 7 клеток. Тогда стороны АВ и ВС примерно равны 8,06 см. Отсюда следует примерное построение углов в 30° и 60°. (Точно построить равносторонний треугольник с вершинами в узлах клетки невозможно, так как tg 60° – иррациональное число, а тангенс любого угла треугольника с вершинами в узлах сетки – рациональное число)

Задача 9
Провести без циркуля окружность на клетчатой бумаге.
Для решения можно воспользоваться тем, что окружность с центром в узле сетки и радиусом 5 клеток проходит через 12 узлов. Это построение основано на свойствах египетского треугольника.

Любая другая окружность указанного вида, содержащая более четырех узлов, должна иметь радиус, равный гипотенузе прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами. (пифагоровы тройки: 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 5, 12, 13; 8, 15, 17 и т.д.)

Задача 10
На клетчатой бумаге построить часовой циферблат, т.е. каким образом начертить окружность, разделенную на 12 совершенно равных дуг.

Для этого достаточно проделать следующие построения:

• начертить окружность с центром в узле клетки и с радиусом, равным целому числу сантиметров (т.е. четному числу клеток);
• провести горизонтальный и вертикальный диаметры и отметить точки их пересечения с окружностью;
• разделить вертикальные и горизонтальные радиусы пополам (вот зачем понадобилось четное число клеток!), провести через них горизонтальные и вертикальные прямые и отметить точки их пересечения с окружностью.

Правильность построения можно проверить циркулем: расстояния между точками деления должны быть равны между собой. Одним из видов построения на клетчатой бумаге является также графический диктант. Графический диктант помогает детям ориентироваться на листе бумаги и развивает пространственное мышление.

Примеры графических диктантов

1. Отсчитай от верхнего левого края страницы вниз 6 клеток и потом вправо еще две клетки и на пересечении линий клетки поставь точку. Это будет стартовая точка А. Помести в нее острие карандаша и, не отрывая его от бумаги, нарисуйте картинку по записи: "Стартовая точка А, вниз 5, вправо 12, вверх 5, влево вверх по диагонали 1, влево 2, влево вниз по диагонали 5". Что у тебя получилось?

Сравни свою картинку с чертежом на доске. Если у тебя получился другой рисунок, то внимательно рассмотри его, найди то место, где ты допустил ошибку, и попытайся нарисовать его еще раз по записи.

2. Отметь в тетради стартовую точку А. Вниз 6, влево вниз по диагонали 3, влево 6, вправо вверх по диагонали 1, влево вверх по диагонали 4, вправо вверх по диагонали 3, влево 3, вправо вверх по диагонали 3, вправо вниз по диагонали 3, влево вниз по диагонали 3, вправо 5, вверх по диагонали 4. Сравни свою картинку с чертежом на доске. Если у тебя получился другой рисунок, то внимательно рассмотри его, найди то место, где ты допустил ошибку, и попытайся нарисовать его еще раз по записи.

Развитие пространственного мышления учащихся в процессе выполнения разнообразных заданий геометрического характера, включающих построение геометрических фигур, построение на клетчатой бумаге, разрезание и складывание фигур является эффективным средством развития пространственного мышления младших школьников.

При этом, необходимо учитывать возрастные особенности учащихся, учить детей наблюдать, ориентироваться на плоскости и в пространстве, учить сравнивать, обобщать, классифицировать, делать правильные выводы.