Рекомендации по формированию навыков решения задач на проценты

Умение выполнять процентные вычисления и решать задачи на проценты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся повседневной жизни постоянно.

Рекомендации по формированию навыков работы с процентами выпускникам 9 и 11 классов помогут легко и быстро справиться с любыми задачами на проценты на выпускных экзаменах.

А главное, в повседневной жизни взрослого человека не обойтись без знаний процентов. Скольких бы проблем можно было избежать, в том числе с кредитами, если бы люди владели навыками вычислений процентов. Поэтому просто необходимо иметь навыки процентных вычислений через десятичные дроби, а также применения формулы сложных процентов не только для задач экономического содержания, но и для любых других. Это ускорит расчеты и позволит избежать ошибок.

Для того чтобы уметь решать задачи на проценты необходимо, конечно, знать определение процента, но и некоторые действия с процентами, такие как: перевод % в дробь, и наоборот – дроби в %.

Задачи на проценты

К сожалению, как раз отсутствие навыков процентных вычислений через дроби, в особенности десятичные, делают вычисления процентов многошаговым, в котором легко запутаться и допустить ошибку. А в дальнейшем решение задач в общем виде просто невозможным. Например, банк обещает своим клиентам годовой рост вклада 11%. Какую сумму денег может получить через год человек, вложивший в этот банк 450 тыс. руб.?

Без перехода к десятичной дроби 450 тыс. руб. нужно разделить на 100, чтобы узнать сколько приходится на один процент, потом то, что получится, умножить на 11 и прибавить к 450 тыс. руб. Три эти действия можно заменить одним: 450 × 1,11.

А если вопрос будет: какую сумму денег можно получить через два года? То все эти действия придется повторять также и с другой суммой. Когда же применяешь десятичную дробь, нужно 450 × 1,11 еще раз умножить на 1,11.

При наличии в наше время у всех сотовых телефонов вычислить сколько тебе придется платить, например, по кредиту, можно за считанные минуты. Вот почему важно уметь вычислять проценты через десятичную дробь.

Примеры решения задач на проценты

Задача 1

Для токаря установлена норма выработки – 500 деталей в день, но он перевыполняет норму. В первый день он выполнил 105% нормы, во второй день – 107%, в третий день – 110%, в четвертый день – 106% и в пятый день – 108%. Сколько деталей он изготовил в каждый из этих дней?

Решение:
Отличие этой задачи от ранее встречавшихся заключается в том, что здесь нужно найти от числа больше, чем 100%. Приступим к решению этой задачи. Вычислим выработку рабочего в первый день.

В задаче сказано, что в первый день он выполнил 105% нормы. Заменим 105% десятичной дробью. Это будет 1,05. Для решения нашей задачи нужно 500 умножить на 1,05. Значит, 500 × 1,05 = 525.

Подобным же образом найдем выработку рабочего и в последующие дни:
во второй день: 500 × 1,07 = 535;
в третий день 500 × 1,1 = 550;
в четвертый день 500 × 1,06 = 530;
в пятый день 500 × 1,08 = 540.
Ответ: 525, 535, 550, 530, 540 деталей.

Примечание:

• для увеличения данного числа на 30% достаточно умножить это число на 1,3;
• для уменьшения данного числа на 20% достаточно умножить это число на 0,8.

Задача 2

В автоинспекции города N подсчитали, что число легковых автомобилей увеличивалось в последние годы на 15 % ежегодно. Во сколько раз увеличится число легковых автомобилей за пять лет, если эта тенденция сохранится?

Решение:
Пусть x автомобилей было в городе, тогда через пять лет их станет 1,15×1,15×1,15×1,15×1,15х = 2,01136x, то есть в 2 раза больше.
Ответ: в 2 раза больше.

Имея навыки процентных вычислений легко избежать типичных заблуждений. Если число увеличить (уменьшить) на a%, а потом увеличить (уменьшить) на b%, то оно не увеличится (уменьшится) на (a + b) %

Задача 3

Цена товара понизилась на 40%, а затем ещё на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной? Сколько стал стоить товар, если его первоначальная стоимость была 3000 руб.?

Решение:
Пусть x – первоначальная цена, после первого понижения цена товара стала равна 0,6x, далее 0,75 × 0,6x = 0,45x – цена товара после второго снижения.
Таким образом, общее снижение цены товара произошло на 55%.

Найдем 45% от 3000 руб.
3000 × 0,45 = 1350 (руб.)
Ответ: на 55% понизилась цена товара по сравнению с первоначальной; 1350 руб. стал стоить товар.

Если число увеличить (уменьшить) на а%, а потом уменьшить (увеличить) на а%, то оно не станет первоначальным

Задача 4

Цена на молоко сначала снизилась на 5%, а затем повысилась на 5%. Изменилась ли первоначальная цена, и если да, то на сколько процентов?

Решение:
x – первоначальная цена
0,95х – цена молока после снижения
1,05 × 0,95x = 0,9975x

Полученная стандартная форма записи показывает, что первоначальная цена понизилась на 0,25%.
Ответ: первоначальная цена понизилась на 0,25%.

Если число a больше (меньше) числа b на р%, то это не значит, что b меньше (больше) a на столько же процентов

Задача 5

Учитель зарабатывает на 25% меньше, чем профессор. На сколько процентов больше, чем учитель, зарабатывает профессор?

Решение:
Пусть x – зарплата профессора, тогда 0,75x – зарплата учителя. Зарплата профессора больше на 0,25x, что составляет 0,25x/0,75x×100% = 33 1/3% от зарплаты учителя.
Ответ: 33 1/3%

Поспешность в оценке количества процентов (изменение величины даже на один процент может быть значительным)

Задача 6

Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Какова теперь масса арбуза?

Решение:
На первый взгляд кажется, что масса арбуза мало изменилась, но это на первый взгляд! Масса «сухого вещества» арбуза составляла 100 – 99 = 1 (%). Это 20 × 0,01 = 0,2 кг. После усушки его масса составляла уже 100 – 98 = 2 (%). То есть те же самые 0,2 кг составляют 2 % от новой массы арбуза. Найдем эту новую массу: 0,2 : 0,02 = 10 (кг).