Решение задач на смеси и сплавы арифметическим способом при подготовке к ОГЭ

Задачи на смеси и сплавы относятся к традиционным арифметическим и алгебраическим задачам, при решении которых учащиеся испытывают затруднения.

Такой вид задач используется в процессе обучения как средство развития обучаемых, а на экзаменах – как средство проверки мыслительных способностей и элементарной обученности.

Одним из способов решения этого вида задач является арифметический способ. При решении такого типа задач, предполагают, что при сплавлении металлов, нет потерь массы, то есть масса сплава равна сумме масс сплавляемых кусков (что характерно для задач на смеси). Рассмотрим ряд задач, которые следует рассмотреть с учащимися при подготовке к экзамену.

Рассмотрим классическую задачу на сплавы: Даны два куска с различным содержанием меди. Первый, массой 300 г, содержит 20% меди. Второй, массой 200 г, содержит 40 % меди. Сколько процентов меди будет содержать сплав, полученный из этих кусков?

Решение: До сплавления в двух кусках было 300∙(20/100)+200∙(40/100)=140г меди. После сплавления кусок массой 200+300=500 г будет содержать (140∙100)/500%=28% меди. Ответ: 28%.

Решение задач на смеси и сплавы

Таким способом решаются аналогичные задачи на смеси:

2. Смешали 200 г 40% и 400 г 20% раствора кислоты. Определите процентное содержание кислоты в полученной смеси.
3. 30 ведер вина в 48градусов смешано с 24 ведрами вина в 36 градусов. Сколько градусов в смеси?
4. Смешано три сорта муки: 15 фунтов по 8 к, 20 фунтов по 7 к и 25 фунтов по 4 к. за фунт. Что стоит фунт смеси?

Задачи 1-4 описывают разные ситуации, но имеют однотипные решения. Чтобы учащиеся это запомнили нужно рассмотреть задачу в общем виде: Даны два куска металла с различным содержанием олова, Первый, массой m1 содержит p1% олова, а второй, массой m2, содержит p2% олова. Определите процентное содержание олова в сплаве.

Решение: масса олова в 1-м куске равна (p₁m₁)/100, а во 2-м куске - (p₂m₂)/100 в сплаве - (p₁m₁+p₂m₂)/100. Процентное содержание олова в сплаве равно p=((p₁m₁+p₂m₂)/100)/(m₁+m₂)∙100=(p₁m₁+p₂m₂)/(m₁+m₂) (1) откуда получаем равенство: p₁m₁+p₂m₂=(m₁+m₂)∙p.

Данная задача применяется при нахождении p в неравенстве (2). Рассмотрим еще одну задачу того же типа, но в ней одна из величин p_1 или p_2, равна нулю.

6. В 2 л водного раствора, содержащего 60% кислоты, добавили 4 л чистой воды. Определите процентное содержание кислоты в новом растворе.
Ответ можно получить по формуле: p=(p₁V₁+p₂V₂)/(V₁+V₂ )=(60∙2+0∙4)/(2+4)=20%.

Следующая задача, обратная задаче 6, также решается арифметически.

8. Сколько литров воды нужно добавить в 2 л водного раствора, содержащего 60% кислоты, чтобы получить 20%-й раствор кислоты?

Объем чистой кислоты в растворе не меняется, процентное содержание кислоты в растворе можно уменьшить в 60:20=3 раза, увеличив объем раствора в 3 раза: 2∙3=6 л, т.е. на 6-2=4 л. Нужно добавить 4 л воды.

Эту же задачу можно решить и алгебраическим способом с помощью уравнения: Пусть х л воды нужно добавить. Приравняем объемы кислоты в первоначальном и полученном растворах.

Составим уравнение: 0,6∙2=0,2(2+х). Получим х=4, т.е. нужно добавить 4 л воды. Ответ: 4 л воды.
Рассмотрим задачу, в которой задано процентное содержание воды в растворе и воду не добавляют, а выпаривают.

9. Сколько литров воды нужно выпарить из 20 л раствора, содержащего 80 % воды, чтобы получить раствор, содержащий 75% воды?

Сначала выразим в процентах содержание примеси в водном растворе: было 100%-80%=20%, стало 100%-75%=25%. Чтобы содержание примеси увеличилось в 25:20=1,25 раза, нужно объем раствора уменьшить в 1,25 раза: 20:1,25=16 л, то есть нужно выпарить 20-16=4 л воды.

Так же алгебраическим способом возможно решить задачи на смеси и сплавы, в которых количества вещества даны в виде отношений. Например:

10. В двух сплавах меди и цинка отношение меди к цинку 4:3 и 2:3 соответственно. После совместной переплавки 140 кг первого сплава, 150 кг второго сплава и некоторой массы чистой меди получили сплав, в котором меди на 20 кг больше, чем цинка. Найти массу нового сплава.

Сначала следует определить, сколько килограмм цинка содержал полученный сплав: 3/7∙140+3/5∙150=150. По условию задачи, меди он содержал на 20 кг больше, то есть 170 кг. Тогда масса полученного сплава равна 150+170=320 кг.

Задачи на смеси и сплавы включены в КИМы для подготовки и проведения экзамена по математике за курс основной школы. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся. При решении задач данного типа очевидны межпредметные связи математики с химией, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся.